Question

18．若（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中各項系數的和等于64，則展開式中x³的系數是15．

Answer 1

分析 令x=1，則（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中各項系數的和=2ⁿ=64，解得n．再利用二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：令x=1，則（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中各項系數的和為：2ⁿ=64，解得n=6．
∴$（x+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{6}$的展開式的通項公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令$6-\frac{3}{2}r$=3，解得r=2．
∴展開式中x³的系數為：${∁}_{6}^{2}$=15．
故答案為：15．

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．