Question

18．若（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64，則展開(kāi)式中x³的系數(shù)是15．

Answer 1

分析 令x=1，則（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和=2ⁿ=64，解得n．再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：令x=1，則（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為：2ⁿ=64，解得n=6．
∴$（x+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{6}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令$6-\frac{3}{2}r$=3，解得r=2．
∴展開(kāi)式中x³的系數(shù)為：${∁}_{6}^{2}$=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．