Question

若兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y滿足x＞2，y＞0，且x+2y=3，且

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，由y＞0，x=3-2y＞2，可得0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，于是利用基本不等式可求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，再解不等式m²+2m＜8，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵x＞2，y＞0，且x+2y=3，
∴x=3-2y＞2，
∴0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，
∴

2

x-2

+

1

y

=

2

1-2y

+

1

y

=

1

(1-2y)y

=

2

(1-2y)•2y

≥

2

( 1-2y+2y 2 )2

=8（當(dāng)且僅當(dāng)y=

1

4

時(shí)取“=”），
即（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，
∵

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，
∴m²+2m＜8，
解得：-4＜m＜2．
故答案為：（-4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查基本不等式的應(yīng)用，求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．