Question

如圖：四面體P-ABC為正四面體，M為PC的中點(diǎn)，則BM與AC所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間角

分析：取AP的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，根據(jù)三角形中位線定理可得MN∥AC且MN=

1

2

AC，因此∠NMB（或其補(bǔ)角）就是BM與AC所成的角．然后在△BMN中由余弦定理加以計(jì)算，即可得出BM與AC所成的角的余弦值．

解答： 解：取AP的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，可得
∵△PAC中，MN是中位線，
∴MN∥AC且MN=

1

2

AC．
因此∠NMB（或其補(bǔ)角）就是BM與AC所成的角．
設(shè)正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為2，
則△BMN中，MN=

1

2

AC=1，BN=BM=

3

，
∴由余弦定理，可得cos∠NMB=

1+3-3

2×1× 3

=

3

6

，
由此可得BM與AC所成的角的余弦值為

3

6

故答案為：

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題在正四面體中求異面直線所成角的余弦值，著重考查了正四面體的性質(zhì)、異面直線所成角的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．