Question

8．設函數(shù)f（x）=$\sqrt{（ax-5）（a-{x}^{2}）}$的定義域為A，集合B={x||x-a|＞2}，已知命題p：3∈A，命題q：10∈B，若p真且q假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 要使函數(shù)f（x）有意義，則（ax-5）（a-x²）≥0，即（ax-5）（x²-a）≤0，對a分類討論：①當a=0時，②當a＜0時，③當a＞0時，不等式化為$（x-\frac{5}{a}）$$（x+\sqrt{a}）$$（x-\sqrt{a}）$≤0．當a≥$\root{3}{25}$時，當$0＜a＜\root{3}{25}$時．命題q：10∈B，∴￢q：10∉B．對于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．即可得出．

解答 解：要使函數(shù)f（x）有意義，則（ax-5）（a-x²）≥0，即（ax-5）（x²-a）≤0，
①當a=0時，化為5x²≥0，x∈R=A．對于B：|x|＞2，此時10∈B，舍去．
②當a＜0時，不等式化為$x≥\frac{5}{a}$，其定義域為：A=$[\frac{5}{a}，+∞）$，∵3∈A，∴$\frac{5}{a}≤3$，a＜0，解得a＜0．
命題q：10∈B，∴￢q：10∉B．對于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
③當a＞0時，不等式化為$（x-\frac{5}{a}）$$（x+\sqrt{a}）$$（x-\sqrt{a}）$≤0．
當a≥$\root{3}{25}$時，由不等式解為$x≤-\sqrt{a}$或$\frac{5}{a}≤x≤\sqrt{a}$，∴A={x|$x≤-\sqrt{a}$或$\frac{5}{a}≤x≤\sqrt{a}$}．
∵3∈A，∴$\frac{5}{a}≤3≤\sqrt{a}$，解得a≥9．
∵命題q：10∈B，∴￢q：10∉B．對于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．
∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥9}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得9≤a≤12．
當$0＜a＜\root{3}{25}$時，由不等式解為$x≤-\sqrt{a}$或$\sqrt{a}≤x≤\frac{5}{a}$，∴A={x|$x≤-\sqrt{a}$或$\sqrt{a}≤x≤\frac{5}{a}$}，
∵3∈A，∴$\sqrt{a}≤3≤\frac{5}{a}$，解得$0＜a≤\frac{5}{3}$．
∵命題q：10∈B，∴￢q：10∉B．對于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．
∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤\frac{5}{3}}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
綜上可得：a∈[9，12]．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．