Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=-1+2 2 t

（t為參數(shù)），直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓心的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，化為ρ²=2

2

(

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ)，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出．
（II）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，化為ρ²=2

2

(

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ)，
把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得：圓C的普通方程為x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2．
∴圓心坐標(biāo)為（1，-1），
∴圓心極坐標(biāo)為(

2

，

7π

4

)；
（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程

x=t y=-1+2 2 t

（t為參數(shù)），把t=x代入y=-1+2

2

t可得直線l的普通方程：2

2

x-y-1=0，
∴圓心到直線l的距離d=

|2 2 +1-1|

3

=

2 2

3

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- 8 9

=

2 10

3

，
點(diǎn)P直線AB距離的最大值為r+d=

2

+

2 2

3

=

5 2

3

，
Smax=

1

2

×

2 10

3

×

5 2

3

=

10 5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把直線的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．