Question

4．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩盒內(nèi)各任取2個球．
（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．且AB獨立，由獨立事件的概率公式可得；
（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由互斥事件的概率公式可得答案．
（Ⅲ）ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則ξ可能的取值為0，1，2，3．結(jié)合前兩問的解法得到結(jié)果，寫出分布列和期望．

解答 解：（I）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．
∵事件A，B相互獨立，且$P（A）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{2}$，$P（B）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$．
∴取出的4個球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{20}$．
（II）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，
“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．
∵事件C，D互斥，且$P（C）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$．$P（D）=\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{20}$，
∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=$\frac{3}{10}+\frac{3}{20}$=$\frac{9}{20}$．
（III）ξ可能的取值為0，1，2，3．
由（I），（II）得P（ξ=0）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=1）=$\frac{9}{20}$，
又P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{7}{20}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{20}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{1}{20}$

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{3}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{7}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=$\frac{13}{10}$．

點評 本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．