Question

16．一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取5件作檢驗(yàn)，這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取2件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=5，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為$\frac{1}{2}$，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．
（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；
（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為200元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為x（單位：元），求x的分布列．

Answer 1

分析 （1）由題意知：第一次取5件產(chǎn)品中，恰好有k件優(yōu)質(zhì)品的概率為P（k）=${C}_{5}^{k}（\frac{1}{2}）^{5}$，由此能求出這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率．
（2）由題意得X的可能取值為1000，1200，1400，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）由題意知：第一次取5件產(chǎn)品中，恰好有k件優(yōu)質(zhì)品的概率為：
P（k）=${C}_{5}^{k}（\frac{1}{2}）^{5}$，k=0，1，2，3，4，5，
∴這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率：
p=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{5}（\frac{1}{2}）^{2}+{C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{5}（\frac{1}{2}）+{C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{5×4}{2}×（\frac{1}{2}）^{7}$+5×$（\frac{1}{2}）^{6}$+（$\frac{1}{2}$）⁵=$\frac{3}{16}$．
（2）由題意得X的可能取值為1000，1200，1400，
P（X=1000）=（$\frac{1}{2}$）⁵=$\frac{1}{32}$，
P（X=1200）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{5}{64}$，
P（X=1400）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}+{C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}$+${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$+${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{57}{64}$，
X的分布列為：

X	1000	1200	1400
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{64}$	$\frac{57}{64}$

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．