Question

11．如圖，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，其外接圓圓心O在邊AD上，直角梯形PDAQ垂直于圓O所在平面，∠QAD=∠PDA=90°，且AD=2AQ=4
（1）證明：平面ABQ⊥平面PBD；
（2）若二面角D-PB-C的平面角等于45°，求多面體PQABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直徑所對圓周角為直角可得AB⊥BD，再由梯形PQAD垂直于圓O所在的平面，∠PDA=90°得PD⊥平面ABCD，進一步得到AB⊥PD，然后利用線面垂直的判定得AB⊥平面PBD，再由面面垂直的判定得平面ABQ⊥平面PBD；
（Ⅱ）過點B作射線BZ∥DP，BA，BD，BZ兩兩垂直．以B為原點，BA，BD，BZ所在直線分別為x，y，z軸建立坐標系，設PD=h，求出所用點的坐標，求出平面PBC的一個法向量為，結(jié)合（1）可得平面PBD的一個法向量為$\overrightarrow{BA}=（2，\;\;0，\;\;0）$，由$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{BA}}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{4+\frac{12}{h^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求得得$h=\sqrt{6}$，再由多面體PQABCD是由三棱錐P-BCD和四棱錐B-ADPQ構(gòu)成的組合體，分別求出兩個棱錐的體積作和得多面體PQABCD的體積$V=3\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

解答 （Ⅰ）證明：由題可知AB⊥BD，
∵梯形PQAD垂直于圓O所在的平面，∠PDA=90°
∴PD⊥平面ABCD，
∴AB⊥PD，
又∵BD∩PD=D，
∴AB⊥平面PBD，
∵AB?平面ABQ，
∴平面ABQ⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：如圖，過點B作射線BZ∥DP，BA，BD，BZ兩兩垂直．
以B為原點，BA，BD，BZ所在直線分別為x，y，z軸建立坐標系，
設PD=h，則$B（0，0，0），D（0，2\sqrt{3}，0），P（0，2\sqrt{3}，h），C（-1，\sqrt{3}，0）$，
從而$\overrightarrow{BC}=（-1，\;\;\sqrt{3}，\;\;0），\overrightarrow{BP}=（0，2\sqrt{3}，h）$，
設面PBC的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，\;y，\;\;z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{2\sqrt{3}y+hz=0}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\;1，\;\;-\frac{{2\sqrt{3}}}{h}）$，
由（1）已證BA⊥平面PBD，則平面PBD的一個法向量為$\overrightarrow{BA}=（2，\;\;0，\;\;0）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{BA}}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{4+\frac{12}{h^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$h=\sqrt{6}$，
多面體PQABCD是由三棱錐P-BCD和四棱錐B-ADPQ構(gòu)成的組合體，
${V_{B-ADPQ}}=\frac{1}{3}•\frac{{2+\sqrt{6}}}{2}•4•\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•\sqrt{6}=\sqrt{2}$，
∴多面體PQABCD的體積$V=3\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及二面角平面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，是中檔題．