分析 根據(jù)題意畫出圖形,過點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,
由此得出當(dāng)點(diǎn)D在線段MC內(nèi)時(shí),$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$<0,從而求出對(duì)應(yīng)的概率值.
解答 解:如圖所示,
△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,
∴BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC=22+12-2×2×1×cos120°=7,
∴BC=$\sqrt{7}$;
過點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,
則$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin120°,
∴AM=$\frac{2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,
∴BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}})}^{2}}$=$\frac{5}{\sqrt{7}}$;
當(dāng)點(diǎn)D在線段BM內(nèi)時(shí),$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{AD}$|×|$\overrightarrow{DC}$|×cos∠ADB<0,
故所求的概率為P=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$.
故答案為:$\frac{5}{7}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與幾何概型的概率計(jì)算問題,也考查了轉(zhuǎn)化法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.
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