Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l過點(diǎn)M（-2，-4），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程（α為常數(shù)）和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，且|MA|•|MB|=40，求傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的傾斜角為α，且直線過點(diǎn)M（-2，-4），求出直線的參數(shù)方程即可；根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C的直角坐標(biāo)方程即可；
（2）聯(lián)立方程組，求出，t₁t₂=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求出α的值即可．

解答 解：（1）∵傾斜角為α的直線l過點(diǎn)M（-2，-4），
∴直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-4+tsinα}\end{array}\right.$，（t是參數(shù)），
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是：y²=2x；
（2）把直線的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-（2cosα+8sinα）t+20=0，
∴t₁+t₂=$\frac{2cosα+8sinα}{{sin}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$，
根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義
|MA||MB|=|t₁t₂|=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$=40，
故α=$\frac{π}{4}$或α=$\frac{3π}{4}$，
又∵△=（2cosα+8sinα）²-80sin²α＞0，
故α=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程以及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．