如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，圓O：x2+y2=b2將橢圓C的長軸三等分，直線l：y=mx-
4
5
（m≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；并求出該三解形面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，解得b=1，由圓O將橢圓的長軸三等分，得a=3b=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由
y=mx-
4
5
x2
9
+y2=1
，得（1+9m2）x2-
72
5
mx-
81
25
=0，由此推導(dǎo)出△PAB為直角三角形．設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為K，則K（0，-
4
5
），|PK|=
9
5
，S△APB=
1
2
|PK|(|x1|+|x2|)=
1
2
•
9
5
(x1+x2)2-4x1x2
，由此能求出△PAB面積的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，∴2b=2，解得b=1，
∵圓O將橢圓的長軸三等分，∴2b=
1
3
×2a，
∴a=3b=3，
∴橢圓C的方程為
x2
9
+y2=1．
（Ⅱ）由
y=mx-
4
5
x2
9
+y2=1
，消去y得（1+9m2）x2-
72
5
mx-
81
25
=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
72m
5(1+9m2)
，x1x2=
-81
25(1+9m2)
，
又P（0，1），∴
PA
•
PB
=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x1x2+(mx1-
9
5
)(mx2-
9
5
)
=x1x2+m2x1x2-
5
9
m(x1+x2)+
81
25

=（1+m2）•
-81
25(1+9m2)
-
9
5
m•
72m
5(1+9m2)
+
81
25

=
-18-81m2-648m2+81+81×9m2
25(1+9m2)
=0
∴PA⊥PB，∴△PAB為直角三角形．
設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為K，則K（0，-
4
5
），|PK|=
9
5
，
∴S△APB=
1
2
|PK|(|x1|+|x2|)
=
1
2
|PK|(|x1|-|x2|)
=
1
2
•
9
5
(x1+x2)2-4x1x2

=
1
2
×
9
5
×
[
72m
5(1+9m2)
]2-4×
-81
25(1+9m2)

=
81
25
•
25m2-1
1+9m2
，
令
25m2+1
≥t，則S△PAB=
81
25
•
t
1+9•
t2-1
25

=
81
9t+
16
t
≤
81
2•
9t•
16
t
=
27
8
，
當(dāng)且僅當(dāng)9t=
16
t
，即t=
4
3
時取等號，
∴△PAB面積的最大值為
27
8
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-an-（
1
2
）n+1+2（n為正整數(shù)）．
（Ⅰ）令bn=2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=
n+1
n
an，Tn=c1+c2+…+cn，求Tn并證明：Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，PF1與y軸的交點(diǎn)Q恰為PF1的中點(diǎn)，|OQ|=
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求△AMN面積的取值范圍．

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已知直線l1：x+y-3=0與直線l2：x-3y+1=0相交于點(diǎn)C，以C為圓心的圓過點(diǎn)A（0，1）．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)B（4，5）的圓C的切線方程．

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已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB面積最大時直線l的方程．

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如圖，已知AB是圓柱OO1底面圓O的直徑，底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π；點(diǎn)C在底面圓O上，且直線A1C與下底面所成的角的大小為60°．
（1）求點(diǎn)A到平面A1CB的距離；
（2）求二面角A-A1B-C的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需要另投入1萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件，并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=
108
x
-
100
x(x+1)
，（x＞0）
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為
3
2
．
（1）求a，b的值．
（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．
（�。┤鬹=1，求△OAB面積的最大值；
（ⅱ）若PA2+PB2的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為[0，2]，分別求下列三個函數(shù)的定義域：
（1）f（x2）；
（2）f（|2x-1|）；
（3）f（
x
-2）．

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同步練習(xí)冊答案