Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且縱坐標為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線l與拋物線交于A，B兩點，且∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB面積最大時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點P（x₀，4），由已知條件得x0+

p

2

=4，4²=2px₀，由此能求出拋物線的方程為y²=8x．
（2）由（1）知點P的坐標為（2，4），由∠APB的角平分線與x軸垂直，知PA，PB的斜率互為相反數(shù)，設直線PA的方程為y-4=k（x-2），（k≠0）由

y=kx-2k+4 y2=8x

，得ky²-8y-16k+32=0，由此推導出可設直線AB的方程為y=-x+b，把x=-y+b代入拋物線方程得y²+8y-8b=0，從而能求出當b=0時，△PAB的面積取得最大值．此時直線l的方程為x+y=0．

解答： 解：（1）設點P（x₀，4），∵|PF|=4，
∴由拋物線的定義得x0+

p

2

=4．
又∵4²=2px₀，二式聯(lián)立解得x₀=2，p=4．
故此拋物線的方程為y²=8x．（4分）
（2）由（1）知點P的坐標為（2，4），
由∠APB的角平分線與x軸垂直，
知PA，PB的斜率互為相反數(shù)．（5分）
設直線PA的方程為y-4=k（x-2），（k≠0）
由

y=kx-2k+4 y2=8x

，消去x得ky²-8y-16k+32=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+4=

8

k

，即y1=

8

k

-4，
同理y2=-

8

k

-4．（7分）
∴直線AB的斜率為kAB=

y2-y1

x2-x1

=

8(y2-y1)

y22-y12

=

8

y1+y2

=-1．（8分）
設直線AB的方程為y=-x+b，
把x=-y+b代入拋物線方程，得y²+8y-8b=0，
由題意知△=64+32b＞0，且y₁y₂=-8b≥0，
從而-2＜b≤0．又y₁+y₂=-8，
∴|AB|=

1+(-1)2

•|y1-y2|=8

b+2

，
點P到AB的距離d=

|6-b|

2

．
因此，S△PAB=2

2

•

(b+2)(b-6)2

，（10分）
令f（b）=（b+2）（b-6）²=b³-10b²+12b+72，（-2＜b≤0），
則f'（b）=3b²-20b+12＞0在b∈（-2，0]上恒成立，
∴函數(shù)f（b）在b∈（-2，0]上為增函數(shù)，
因此f（b）_max=f（0）=72，
即△PAB面積的最大值為S△PAB=2

2

•

72

=24
∴當b=0時，△PAB的面積取得最大值．此時直線l的方程為x+y=0．（12分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．