Question

15．已知f（x）=$\frac{ax+2}{{{{（x+1）}^2}}}$（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)f（x）是否存在最大值或最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1的函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出導數(shù)并分解因式，對a討論，當0＜a＜2時，當a=2時，當a＞2時，解不等式可得增區(qū)間和減區(qū)間，極值及最值．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，$f（x）=\frac{x+2}{{{{（x+1）}^2}}}$，$f'（x）=\frac{-（x+1）（x+3）}{{{{（x+1）}^4}}}$，
即有$f（1）=\frac{3}{4}$，$f'（1）=-\frac{1}{2}$，
所以切線方程為$y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}（x-1）$，
即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{a{{（x+1）}^2}-（ax+2）2（x+1）}}{{{{（x+1）}^4}}}$=$\frac{-（x+1）（ax-a+4）}{{{{（x+1）}^4}}}$，
其中a＞0，x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），
令f'（x）=0，得$x=1-\frac{4}{a}$，
（1）當$1-\frac{4}{a}＜-1$，即0＜a＜2時，

x	$（-∞，1-\frac{4}{a}）$	$1-\frac{4}{a}$	$（1-\frac{4}{a}，-1）$	（-1，+∞）
f'（x）	小于0	等于0	大于0	小于0
f（x）	遞減	極小值	遞增	遞減

則f（x）的增區(qū)間是 $（1-\frac{4}{a}，-1）$，減區(qū)間是$（-∞，1-\frac{4}{a}）$和（-1，+∞），
當$x=1-\frac{4}{a}$時，取得極小值$f（1-\frac{4}{a}）$．又x∈（-1，+∞）時，$f（x）＞0＞f（1-\frac{4}{a}）$，
所以f（x）有最小值$f（1-\frac{4}{a}）=\frac{a^2}{4（a-2）}$；                                 
（2）當a=2時，f（x）的減區(qū)間是（-∞，-1）和（-1，+∞），f（x）無最大值和最小值．
（3）當a＞2時，f（x）的增區(qū)間是 $（-1，1-\frac{4}{a}）$，減區(qū)間是（-∞，-1）和$（1-\frac{4}{a}，+∞）$，
當$x=1-\frac{4}{a}$時，取得極大值$f（1-\frac{4}{a}）$．又x∈（-∞，-1）時，$f（x）＜0＜f（1-\frac{4}{a}）$，
所以f（x）有最大值$f（1-\frac{4}{a}）=\frac{a^2}{4（a-2）}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和二次不等式的解法，運用分類討論的思想方法和正確求導是解題的關(guān)鍵．