Question

5．已知m，n∈N^*，定義f_n（m）=$\frac{n（n-1）（n-2）…（n-m+1）}{m!}$
（1）記 a_m=f₆（m），求a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）記 b_m=（-1）^mmf_n（m），求b₁+b₂+…+b_2n所有可能值的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到f_n（m）的通式，則由a_m=f₆（m）易求a_m的通式，所以將其代入所求的代數(shù)式進(jìn)行求值即可；
（2）分類討論：當(dāng)n=1和n≥2兩種情況下的b_2n的通式．

解答 解：（1）由題意知，f_n（m）=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥n+1}\\{{C}_{n}^{m}，1≤m≤n}\end{array}\right.$，
因?yàn)?a_m=f₆（m），
所以 a_m=$\left\{\begin{array}{l}{0．m≥n+1}\\{{C}_{6}^{m}，1≤m≤6}\end{array}\right.$，
所以 a₁+a₂+…+a₁₂=${C}_{6}^{1}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{6}^{6}$=63；

（2）當(dāng)n=1時(shí)，b_m=（-1）^mmf₁（m），
當(dāng)n≥2時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥2}\\{-1，m=1}\end{array}\right.$，
則b₁+b₂=-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_m=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥n+1}\\{（-1）^{m}m{•C}_{n}^{m}，1≤m≤n}\end{array}\right.$，
又m${C}_{n}^{m}$=m•$\frac{n!}{m!（n-m）!}$=n•$\frac{（n-1）!}{（m-1）!（n-m）!}$=n${C}_{n-1}^{m-1}$，
所以b₁+b₂+…+b_2n=n[-${C}_{N-1}^{0}$+${C}_{N-1}^{1}$-${C}_{n-1}^{2}$+${C}_{n-1}^{3}$+…+（-1）ⁿ${C}_{n-1}^{n-1}$]=0，
所以b₁+b₂+…+b_2n的取值構(gòu)成的集合為{-1，0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是善于利用已知條件中的關(guān)系．