Question

4．已知函數(shù)f（x）=（ax²-x）lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線斜率為-1（e=2.718…），求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線斜率為-1，求出b的值，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（ 1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=bx-xlnx，f′（x）=b-1-lnx，
∵f′（e）=-1，∴f′（e）=b-1-lne=b-2=-1，
解得b=1，
∴f（x）=x-xlnx，f′（x）=-lnx，
由f′（x）＞0得，0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0，得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，此時(shí)極大值為f（1）=1．
（ 2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）f′（x）=（ax²-x）$\frac{1}{x}$+（2ax-1）lnx-ax+1=（2ax-1）lnx，
①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax-1＜0，在（0，1）上f′（x）＞0，在（1，+∞）上f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上遞減； 
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，在（0，1）和（$\frac{1}{2a}$，+∞）上f′（x）＞0，在（1，$\frac{1}{2a}$）上f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）和（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，$\frac{1}{2a}$）上遞減；
③當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，在（0，+∞）上f′（x）≥0且僅有f′（1）=0，
∴（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；    
④當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，在（0，$\frac{1}{2a}$）和（1，+∞）上f′（x）＞0，在（$\frac{1}{2a}$，1）上f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2a}$，1）上遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．