Question

3．設(shè)A，B為n階方陣，滿足A+B=AB．若B=$（\begin{array}{l}{1}&{-3}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{array}）$，求矩陣A．

Answer 1

分析 首先由AB=A+B知（A-E）（B-E）=E，從而A-E可逆再由（A-E）（B-E）=E，由丨B-E丨=$|\begin{array}{l}{0}&{-3}&{0}\\{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$=3≠0，矩陣B-E可逆，求得B-E的逆矩陣，∴A=（B-E）^-1+E即可求得A．

解答 解：∵AB=A+B，
∴（A-E）（B-E）=E，
丨B-E丨=$|\begin{array}{l}{0}&{-3}&{0}\\{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$=3≠0，
∴矩陣B-E可逆，
（B-E）^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×$|\begin{array}{l}{0}&{3}&{0}\\{-2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{6}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$，
∵（B-E）^-1=A-E，
∴A=（B-E）^-1+E=$|\begin{array}{l}{1}&{\frac{1}{2}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{array}|$．

點(diǎn)評 本題考查三階矩陣，考查矩陣求逆的方法，考查矩陣矩陣可逆的充要條件，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．