Question

12．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求點A的直角坐標及曲線C的普通方程；
（2）過點A且斜率為1的直線1與曲線C交于B、D兩點，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （1）由由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A的直角坐標；運用同角的平方關系cos²α+sin²α=1，可得曲線C的普通方程；
（2）求得曲線C為圓心（3，4），半徑為5的圓，以及直線l的一般式方程，可得圓心到直線的距離，再由弦長公式|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-cdbpcxs^{2}}$，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）點A的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：
A的直角坐標為（2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$），即為（2，2）；
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
由cos²α+sin²α=1，可得曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-4）²=25；
（2）由（1）可得曲線C為圓心（3，4），半徑為5的圓，
過點A（2，2）且斜率為1的直線1的方程為y-2=x-2，即為x-y=0，
可得圓心C（3，4）到直線x-y=0的距離為d=$\frac{|3-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有弦長|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-3wppgm0^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{1}{2}}$=7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化，注意運用同角的平方關系，考查直線和圓相交的弦長公式的運用，屬于基礎題．