Question

7．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為$\frac{1}{2}$．已知A是拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為$\frac{1}{2}$．
（I）求橢圓的方程和拋物線(xiàn)的方程；
（II）設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于A(yíng)），直線(xiàn)BQ與x軸相交于點(diǎn)D．若△APD的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直線(xiàn)AP的方程．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)橢圓和拋物線(xiàn)的定義、性質(zhì)列方程組求出a，b，p即可得出方程；
（II）設(shè)AP方程為x=my+1，聯(lián)立方程組得出B，P，Q三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線(xiàn)BQ的方程，解出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0）．
依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a=\frac{p}{2}}\\{a-c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，c=$\frac{1}{2}$，p=2，于是b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$．
所以，橢圓的方程為x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1，拋物線(xiàn)的方程為y²=4x．
（Ⅱ）解：直線(xiàn)l的方程為x=-1，設(shè)直線(xiàn)AP的方程為x=my+1（m≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)P（-1，-$\frac{2}{m}$），故Q（-1，$\frac{2}{m}$）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得（3m²+4）y²+6my=0，解得y=0，或y=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$．
∴B（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}$，$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$）．
∴直線(xiàn)BQ的方程為（$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$-$\frac{2}{m}$）（x+1）-（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}+1$）（y-$\frac{2}{m}$）=0，
令y=0，解得x=$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，故D（$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，0）．
∴|AD|=1-$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$=$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$．
又∵△APD的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴$\frac{1}{2}×$$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$×$\frac{2}{|m|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
整理得3m²-2$\sqrt{6}$|m|+2=0，解得|m|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線(xiàn)AP的方程為3x+$\sqrt{6}$y-3=0，或3x-$\sqrt{6}$y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．