Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知AD∥BC，從而∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．
因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得$AP=\sqrt{A{D^2}+P{D^2}}=\sqrt{5}$，
故$cos∠DAP=\frac{AD}{AP}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
證明：（Ⅱ）因為AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因為BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，
則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．
因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC-BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得$sin∠DFP=\frac{PD}{DF}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，是中檔題．