Question

10．已知一個空心密閉（表面厚度忽略不計）的正四面體工藝品的棱長為$3\sqrt{6}$，若在該工藝品內(nèi)嵌入一個可以在其內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體棱長的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在一個棱長為$3\sqrt{6}$的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對角線的長，然后求出正方體的棱長．

解答 解：設(shè)球的半徑為：r，由正四面體的體積得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$3\sqrt{6}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$3\sqrt{6}$）²×$\sqrt{（3\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}•3\sqrt{6}）^{2}}$，
所以r=$\frac{3}{2}$，
設(shè)正方體的最大棱長為a，
∴3a²=9，
∴a=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識，球的內(nèi)接正方體的棱長的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力．