Question

20．如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 1）由題意可知直線A₀P₁為y=$\sqrt{3}$x，然后與y²=3x聯(lián)立可得到P₁的坐標(biāo)，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐標(biāo)得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根據(jù)題意可得到關(guān)系 ${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$，${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$，然后根據(jù)y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），從而可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=n（n+1），再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 J解：（1）a₁=2，a₂=6，a₃=12；由此猜想：a_n=n（n+1），
（2）依是意，得${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$，${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$，
由此及$y_n^2=3{x_n}$得：${（\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}）^2}=\frac{3}{2}（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
即${（{a_n}-{a_{n-1}}）^2}=2（{a_{n-1}}+{a_n}）$．  
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想：
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即a_k=k（k+1），則當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵${（{a_{k+1}}-{a_k}）^2}=2（{a_k}+{a_{k+1}}）$，
∴${[{a_{k+1}}-k（k+1）]^2}=2[k（k+1）+{a_{k+1}}]$，
即${a_{k+1}}^2-2（{k^2}+k+1）{a_{k+1}}+[k（k+1）]•[（k+1）（k+2）=0$，
解得a_k+1=（k+1）（k+2）（a_k+1=k（k-1）＜a_k不合題意，舍去）
即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．                                         
由①②可知，對(duì)一切的n∈N^*猜想均成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性問題以及二次函數(shù)的恒成立問題，考查綜合運(yùn)用能力．