分析 1)由題意可知直線A0P1為y=$\sqrt{3}$x,然后與y2=3x聯(lián)立可得到P1的坐標,再由△A0A1P1是正三角形可得到A1的坐標得到a1的值,同理可得到a2、a3.
(2)先根據(jù)題意可得到關系 ${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$,${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$,然后根據(jù)yn2=3xn得(an-an-1)2=2(an-1+an),從而可猜想數(shù)列通項公式an=n(n+1),再由數(shù)學歸納法證明即可.
解答 J解:(1)a1=2,a2=6,a3=12;由此猜想:an=n(n+1),
(2)依是意,得${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$,${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$,
由此及$y_n^2=3{x_n}$得:${(\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2})^2}=\frac{3}{2}({a_n}+{a_{n-1}})$,
即${({a_n}-{a_{n-1}})^2}=2({a_{n-1}}+{a_n})$.
下面用數(shù)學歸納法證明猜想:
①當n=1時,猜想顯然成立.
②假設當n=k(k∈N*)時,猜想成立,即ak=k(k+1),則當n=k+1時,
∵${({a_{k+1}}-{a_k})^2}=2({a_k}+{a_{k+1}})$,
∴${[{a_{k+1}}-k(k+1)]^2}=2[k(k+1)+{a_{k+1}}]$,
即${a_{k+1}}^2-2({k^2}+k+1){a_{k+1}}+[k(k+1)]•[(k+1)(k+2)=0$,
解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合題意,舍去)
即當n=k+1時,猜想也成立.
由①②可知,對一切的n∈N*猜想均成立.
點評 本題主要考查求數(shù)列通項公式、數(shù)列的單調性問題以及二次函數(shù)的恒成立問題,考查綜合運用能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 6 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
y1 | y2 | 總計 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
總計 | a+c | b+d | a+b+c+d |
A. | ad-bc越小,說明x與y的關系越弱 | B. | ad-bc越大,說明x與y的關系越弱 | ||
C. | (ad-bc)2越大,說明x與y的關系越強 | D. | (ad-bc)2越小,說明x與y的關系越強 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2120(6) | B. | 3120(6) | C. | 2212(6) | D. | 4212(6) |
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