Question

2．如圖，已知橢圓 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左頂點為A₁，右焦點為F₂，過點 F₂作垂直于x軸的直線交橢圓C于M、N兩點，直線 A₁M的斜率為$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C的長軸長為4，點P（1，1），則在橢圓C上是否存在不重合兩點D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$）（O是坐標原點），若存在，求出直線DE的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出M（c，$\frac{^{2}}{a}$），A₁（-a，0），從而$\frac{^{2}}{a}=\frac{1}{2}（a+c）$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，由此能求出橢圓C的離心率．
（Ⅱ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，2a=4，求出橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，假設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上存在不重合的兩點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），則P（1，1）是線段DE的中點，由此利用點差法能求出在橢圓C上存在不重合兩點D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$，并能求出直線DE的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左頂點為A₁，右焦點為F₂，
過點 F₂作垂直于x軸的直線交橢圓C于M、N兩點，直線 A₁M的斜率為$\frac{1}{2}$，
∴M（c，$\frac{^{2}}{a}$），A₁（-a，0），∴$\frac{^{2}}{a}=\frac{1}{2}（a+c）$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
解得a=2c，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
又2a=4，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
假設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上存在不重合的兩點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），
則P（1，1）是線段DE的中點，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
兩式相減，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{{x}_{2}）}^{\;}}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$=0，
∴${k}_{DE}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3}{4}$，
∴直線DE的方程為3x+4y-7=0，
∴在橢圓C上存在不重合兩點D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），此時直線DE的方程為3x+4y-7=0．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．