Question

14．已知偶函數(shù)f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ的最小值為-6．
（1）求f（x）的最大值和此時(shí)x的取值集合；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=λf（ωx）-f（ωx+$\frac{π}{2}$），其中λ＞0，ω＞0，已知y=g（x）在x=$\frac{π}{6}$處取最小值并且點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，試求λ+ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x），由f（x）為偶函數(shù)，且f（x）的最小值為-6，求得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，從而求出f（x）的解析式，從而求出f（x）的最大值和此時(shí)x的取值集合．
（2）化簡(jiǎn)g（x）的解析式，由g（x）在x=$\frac{π}{6}$處取最小值并且點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，求得ω=1、λ=$\sqrt{3}$，由此可得λ+ω的最小值．

解答 解：∵f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ，
由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)可得4tanθ-3=0，得tanθ=$\frac{3}{4}$，故sinθ=±$\frac{3}{5}$．
根據(jù) f（x）=5cosxsinθ-5sinθ=5sinθ（cosx-1），-2≤cosx-1≤0，f（x）最小值-6，
所以sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，f（x）=3（cosx-1），
故當(dāng)x=2kπ，k∈Z時(shí)，即x∈{x|x=2kπ，k∈Z} 時(shí)，cosx取得最大值為1，函數(shù)f（x）取得最大值為0．
（2）由（1）可得函數(shù)g（x）=λf（ωx）-f（ωx+$\frac{π}{2}$）=3λ（cosωx-1）-3[cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-1]
=3λ（cosωx-1）+3sinωx+3=3sinωx+3λcosωx+3-3λ．
由g（x）在x=$\frac{π}{6}$處取最小值并且點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，可得$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，求得ω=1，
故g（x）=3sinx+3λcosx+3-3λ，3sin$\frac{2π}{3}$+3λ•cos$\frac{2π}{3}$=0，∴λ=$\sqrt{3}$，故λ+ω的最小值為$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象對(duì)稱性，屬于中檔題．