Question

2．已知f（x）=x²+2-（alnx+bx）（a＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差數(shù)列，探究f′（x₀）的符號(hào)．

Answer 1

分析 因?yàn)閒（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，把兩個(gè)零點(diǎn)代入到f（x）中，得一式子，然后求出導(dǎo)函數(shù)討論兩個(gè)零點(diǎn)的大小得到f'（x₀）值的符號(hào)為正．

解答 解：因?yàn)閒（x）=x²+2-（alnx+bx）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2-aln{x}_{1}-b{x}_{1}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}+2-aln{x}_{2}-b{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，
兩式相減得x₂²-x₁²-a（lnx₂-lnx₁）-b（x₂-x₁）=0，即x₁+x₂-b=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
于是f′（x₀）=2x₀-$\frac{a}{{x}_{0}}$-b=（x₁+x₂-b）-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$]
=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]
①當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，則t＞1，且u′（t）=$\frac{1}{t}$=$\frac{（1-t）^{2}}{t（1+t）^{2}}$＞0，則u（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$在（1，+∞）上為增函數(shù)，
而u（1）=0，所以u(píng)（t）＞0，即lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$＞0，又因?yàn)閍＞0，x₂-x₁＞0
所以f′（x₀）＞0；
②當(dāng)0＜x₂＜x₁時(shí)，同理可得：f′（x₀）＞0
綜上所述：f′（x₀）的符號(hào)為正．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)極值的能力，屬于中檔題．