Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

2

3

，每次測試通過與否互相獨立．
（Ⅰ）求該學生考上大學的概率．
（Ⅱ）如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）利用對立事件的概率計算公式能求出該學生考上大學的概率．
（II）由題意X=2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及X的數(shù)學期望．

解答： 解：（I）設該學生考上大學的概率為P，
則P=1-(1-

2

3

)4-

C

1 4

2

3

(1-

1

3

)3(1-

1

3

)=1-

3

243

-

8

243

=

232

243

．…（6分）
（II）由題意知X=2，3，4，5，
P(X=2)=

2

3

•

2

3

=

4

9

，
P(X=3)=

C

1 2

2

3

•

1

3

•

2

3

=

8

27

，
P(X=4)=

C

1 3

2

3

•(

1

3

)2•

2

3

=

4

27

，
P(X=5)=

C

1 4

2

3

•(

1

3

)3+(

1

3

)4=

1

9

，…（10分）
概率分布表如下

X	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴E(X)=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

…（12分）
答：該學生考上大學的概率

26

27

；X的數(shù)學期望是

79

27

…（14分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．