Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）對任意的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出的所有值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）存在，.

【解析】

（1）利用可得，從而可得為等比數(shù)列，故可得其通項(xiàng)公式.用累加法可求的通項(xiàng).

（2）利用分組求和法可求，注意就的奇偶性分類討論.

（3）根據(jù)的通項(xiàng)可得，故考慮的解可得滿足條件的的值.

（1）在數(shù)列中，當(dāng)時，.

當(dāng)時，由得，

因?yàn)?/span>，故，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列即.

在數(shù)列中，當(dāng)時，有，

由累加法得，，

.

當(dāng)時，也符合上式，所以.

(2) .

當(dāng)為偶數(shù)時，

=；

當(dāng)為奇數(shù)時，

=.

(3)對任意的正整數(shù),有，

假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，

令，解得，又為正整數(shù)，

所以滿足題意.