Question

已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對于任意實數(shù)x，都有f（1+x）=f（1-x），且當0≤x≤1時，f（x）=3^x+1．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）當x∈[1，3]時，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：把x+2拆成1+（x+1），代入f（1+x）=f（1-x），再利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）推導周期．
（2）利用第（1）問中函數(shù)的周期及奇偶性過度到已知區(qū)間上函數(shù)的表達式求解函數(shù)的解析式．

解答： 解：（1）對任意實數(shù)x都有
f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1-（1+x）]=f（-x），
由于f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)．
（2）當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]
則f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1=3^3-x，
當x∈[2，3]時，x-2∈[0，1]
則f（x）=f（x-2）=3^x-2+1=3^x-1，
綜上，f（x）=

33-x，x∈[1，2] 3x-1，x∈[2，3]

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性，求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學而思想，屬于中檔題．