在△ABC中，B（-
5
，0）、C（
5
，0），AB、AC邊上的中線長之和為9．
（Ⅰ）求△ABC重心G的軌跡方程
（Ⅱ）設(shè)P為（1）中所求軌跡上任意一點，求cos∠BPC的最小值．
考點：圓錐曲線的軌跡問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得G到B、C兩點的距離之和等于20，因此G的軌跡為以B、C為焦點的橢圓．利用題中數(shù)據(jù)加以計算可得相應(yīng)的橢圓方程，注意到點G不能落在x軸上得到答案．
（Ⅱ）由題意，P為橢圓短軸頂點時，∠BPC最大，cos∠BPC最小．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AC、AB邊上的中線分別為CD、BE
∵BG=
2
3
BE，CG=
2
3
CD
∴BG+CG=
2
3
（BE+CD）=6（定值）
因此，G的軌跡為以B、C為焦點的橢圓，2a=6，c=
5

∴a=3，b=2，可得橢圓的方程為
x2
9
+
y2
4
=1
∵當(dāng)G點在x軸上時，A、B、C三點共線，不能構(gòu)成△ABC
∴G的縱坐標(biāo)不能是0，可得△ABC的重心G的軌跡方程為
x2
9
+
y2
4
=1=1（y≠0）；
（Ⅱ）由題意，P為橢圓短軸頂點時，∠BPC最大，cos∠BPC最�。�
∴cos∠BPC=
32+32-(2
5
)2
2×3×3
=-
1
9
點評：本題給出三角形兩條中線長度之和等于定值，求重心G的軌跡方程．著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=lg（a4x+3x+2x+1），若函數(shù)在（-∞，1]上有意義，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知2x2+x≤(
1
4
)x-2，求函數(shù)y=2x-2-x的值域．

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已知點M（a，b）（ab≠0）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點，直線g是以M為中點的弦所在直線，直線l的方程為ax+by+r2=0，則直線l（　　）
A、l∥g，且與圓相切
B、l∥g，且與圓相離
C、l⊥g，且與圓相切
D、l⊥g，且與圓相離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對于任意實數(shù)x，都有f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=3x+1．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)關(guān)于x，y的不等式組
3x-y+1＞0
x+3m＜0
y-m＞0
表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x0，y0），滿足x0-3y0=3，求得m的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-
1
3
）
B、（-∞，
1
3
）
C、（-∞，-
1
2
）
D、（-∞，
1
2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
均為單位向量，其夾角為θ，若|
a
-
b
|＜1，則θ的取值范圍是（　�。�
A、（0，
π
3
）
B、[0，
π
3
）
C、[0，
2π
3
）
D、（
π
3
，π]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（Ⅰ）若α∈[-π，0]，且|
AC
|=|
BC
|，求角α；
（Ⅱ）若α∈[
π
2
，π]，且
AC
⊥
BC
，求
sin2α
2
sin(α-
π
4
)-cos2α
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）=cos(
3π
2
-x)cos（π+x）是（　　）
A、最小正周期為π的奇函數(shù)
B、最小正周期為π的偶函數(shù)
C、最小正周期為
π
2
的奇函數(shù)
D、最小正周期為
π
2
的偶函數(shù)

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