Question

16．拋物線Γ：y²=16x的焦點(diǎn)F，斜率為k的直線l與拋物線Γ交于M、N兩點(diǎn)，若線段MN的垂直平分線的橫截距為a（a＞0），n=|MF|+|NF|，則2a-n=8．

Answer 1

分析 確定拋物線C：y²=16x的焦點(diǎn)為F（4，0），準(zhǔn)線方程為x=-4，利用n=|MF|+|NF|，由拋物線的定義可得n=x_M+4+x_N+4=2x₀+8，求出線段MN的垂直平分線方程，確定線段MN的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y²=16x的焦點(diǎn)為F（4，0），準(zhǔn)線方程為x=-4．
設(shè)MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵n=|AF|+|BF|，
∴由拋物線的定義可得n=x_M+4+x_N+4=2x₀+8．
線段MN的垂直平分線方程為y-y₀=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，x=ky₀+x₀=a，
又由點(diǎn)差法可得ky₀=8，
∴a=8+x₀，
∴2a-n=8．
故答案為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．