Question

11．如圖，空間幾何體ADE-BCF中，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，平面MDF將幾何體ADE-BCF分成兩部分，求空間幾何體M-DEF與空間幾何體ADM-BCF的體積之比．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)CE交DF于N，連結(jié)MN，則MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．
（2）將幾何體ADE-BCF補(bǔ)成三棱柱ADE-B'CF，由此利用割補(bǔ)法能求出空間幾何體M-DEF與空間幾何體ADM-BCF的體積之比．

解答 解：（1）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面MDF，證明如下：（1分）
連結(jié)CE交DF于N，連結(jié)MN，由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，
所以MN∥AC，又MN在平面MDF內(nèi)，（4分）
所以AC∥平面MDF                                             （6分）
（2）將幾何體ADE-BCF補(bǔ)成三棱柱ADE-B'CF，
三棱柱ADE-B'CF的體積為V=S_△ADE•CD=$\frac{1}{2}$×2×2×4=8（8分）
則幾何體ADE-BCF的體積：
V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-ECF}-V${\;}_{F-B{B}^{‘}C}$=8-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2=\frac{20}{3}$（10分）
又三棱錐F-DEM的體積V_{三棱錐F-DEM}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×4）×1=\frac{4}{3}$，（11分）
∴空間幾何體M-DEF與空間幾何體ADM-BCF的體積之比為：$\frac{4}{3}$：（$\frac{20}{3}-\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{4}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面垂直的點(diǎn)的位置的確定，考查兩個(gè)幾何體的體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．