Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+p（p為常數(shù)，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求p的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較n³-3n²與

n

2

（S_n-8）（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=p，a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為p的等差數(shù)列，由此能求出p．
（2）由a_n=2n-1，得Sn=n2，從而n3-3n2-

n

2

(Sn-8)=

n3

2

-3n2+4n=

n

2

(n-2)(n-4)，由此能比較n³-3n²與

n

2

（S_n-8）（n∈N^*）的大�。�

解答： 解：（1）因?yàn)閍_n+1=a_n+p，所以a_n+1-a_n=p（p為常數(shù)，n∈N^*）
又因?yàn)閍₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為p的等差數(shù)列，…（1分）
所以a_n=1+（n-1）p，所以a₂=1+p，a₅=1+4p，
又因?yàn)閍₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，所以a22=a1a5，即（1+p）²=1+4p，
所以p=0或p=2，…（4分）
當(dāng)p=0時，a_n+1=a_n不合題意，舍去．  所以p=2．…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，所以Sn=n2，…（7分）
所以n3-3n2-

n

2

(Sn-8)=

n3

2

-3n2+4n
=

n

2

(n-2)(n-4)，…（9分）
當(dāng)n=2或n=4時，n³-3n²=

n

2

(Sn-8)，
當(dāng)n=3時，n³-3n²＜

n

2

(Sn-8)，
當(dāng)n=1或n＞4（n∈N^*）時，n³-3n²＞

n

2

(Sn-8)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查兩個代數(shù)式的大小的比較，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．