Question

為了降低能源損耗，三明市某室內(nèi)體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

40

kx+5

（0≤x≤10），已知隔熱層厚度為1cm時，每年能源消耗費用為5萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）由每年的能源消耗費用為C（x），當x=1時，可得k的值；又加裝隔熱層的費用為C₁（x），所以總費用函數(shù)f（x）可表示出來，其定義域可得；
（Ⅱ）對函數(shù)f（x）變形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）x=1時，c=5，∴k=3，
∴C（x）=

40

3x+5

，
∴f（x）=6z+

20×40

3x+5

=6x+

800

3x+5

（0≤x≤10）；
（Ⅱ）設(shè)3x+5=t，t∈[5，35]，則y=2t+

800

t

-10≥2

2t• 800 t

-10=70，
當且僅當2t=

800

t

，即t=20時等號成立，此時x=5，f（x）的最小值為70，
∴當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．

點評：本題考查了平均值不等式在函數(shù)極值中的應用，在利用平均值不等式求最值時，要注意等號成立的條件是什么．