Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，它的周期是π，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（　�。�
（1）f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，）
（2）f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（,0）
（3）f（x）在[,]上是減函數(shù)
（4）將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則2×+φ=kπ+ ， 即φ= ， k∈Z．
∵﹣＜φ＜ ，
∴取k=1得φ= ．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin= ．
∴f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，）錯(cuò)誤；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（,0）正確；
③由，得：
．
取k=0，得
∴f（x）在[,]上是減函數(shù)正確；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移個(gè)單位得到，
則f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．
∴命題④錯(cuò)誤．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．