【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,設(shè),.

(Ⅰ)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù);

(Ⅱ)求證:

(Ⅲ)求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,又若方程上有唯一解,請(qǐng)確定t的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析

【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得,從而可得,上遞增,在上遞減,從而確定的取值范圍;

(Ⅱ)借助(Ⅰ)可知,處取得極小值,求出,則,上的最小值為,從而得證;

(Ⅲ)化簡,從而將化為,令,則證明方程上有解,并討論解的個(gè)數(shù);由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可.

(Ⅰ)因?yàn)?/span>,

,得:;令,得:

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

要使為單調(diào)函數(shù),則

所以的取值范圍為

(Ⅱ)證:因?yàn)?/span>上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以處取得極小值.

,所以的最小值為,

從而當(dāng)時(shí),,即 .

(Ⅲ)證:因?yàn)?/span>,所以,即為

,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程上有解,

并討論解的個(gè)數(shù),因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),,所以上有解,且只有一解.

②當(dāng)時(shí),,但由于,所以上有解,且有兩解

③當(dāng)時(shí),由得:,上有且只有一解;

當(dāng)時(shí),由得:,所以上也只有一解

綜上所述,對(duì)任意的,總存在,滿足

當(dāng)方程上有唯一解,的取值范圍為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】教材曾有介紹:圓上的點(diǎn)處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣:橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知,直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求的值;

(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線,且交于點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值;

(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點(diǎn)作直線與該橢圓交于兩點(diǎn),在線段上存在點(diǎn),使成立,試問:點(diǎn)是否在直線上,請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形,為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且,求證:為定值;

(3)設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),,且點(diǎn)到直線的距離為常數(shù),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

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【題目】設(shè)甲乙兩地相距100海里,船從甲地勻速駛到乙地,已知某船的最大船速是36海里/時(shí):當(dāng)船速不大于每小時(shí)30海里/時(shí),船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和船速成正比;當(dāng)船速不小于每小時(shí)30海里/時(shí),船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和船速的平方成正比;當(dāng)船速為30海里/時(shí),它每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用為300元;其余費(fèi)用(不論船速為多少)都是每小時(shí)480元;

1)試把每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用P(元)表示成船速v(海里/時(shí))的函數(shù);

2)試把船從甲地行駛到乙地所需要的總費(fèi)用Y表示成船速v的函數(shù);

3)當(dāng)船速為每小時(shí)多少海里時(shí),船從甲地到乙地所需要的總費(fèi)用最少?

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【題目】某農(nóng)場(chǎng)規(guī)劃將果樹種在正方形的場(chǎng)地內(nèi).為了保護(hù)果樹不被風(fēng)吹,決定在果樹的周圍種松樹. 在下圖里,你可以看到規(guī)劃種植果樹的列數(shù)(n),果樹數(shù)量及松樹數(shù)量的規(guī)律:

1)按此規(guī)律,n = 5時(shí)果樹數(shù)量及松樹數(shù)量分別為多少;并寫出果樹數(shù)量,及松樹數(shù)量關(guān)于n的表達(dá)式

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1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

2)設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn)

證明:以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn).

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3)當(dāng)xA∈(12)時(shí),求ABC面積的最大值.

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