Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)F（1，0）為拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上．

（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程 ；

（2）求證：直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ)；

（3）當(dāng)xA∈（1，2）時(shí)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1 ；（2）見解析；（3）最大值為2．

【解析】

（1）求得拋物線的焦點(diǎn)，由題意可得，可得拋物線方程和準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)過的直線方程為，，，，，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)可得證明，檢驗(yàn)直線的斜率不存在，也成立；

（3）求得的范圍和的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式可得，由三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，判斷單調(diào)性可得面積的范圍，檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)，可得的面積，進(jìn)而得到所求最大值．

解：（1）點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，即，即，

拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；

（2）證明：設(shè)過的直線方程為，，，，，，，

即有，，，

聯(lián)立直線和拋物線可得，

可得，，

則，

由的重心在軸上，可得，即，

即有，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得，，的坐標(biāo)，可得．

則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)；

（3）由（2）可得，，

可得，解得，

由拋物線的定義可得，

由，即，即，，

的坐標(biāo)為，，

到直線的距離為，

可得的面積為，

由，可得，

設(shè)，則，

由，則在遞減，

可得；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，可得，

的面積為，

可得的面積的最大值為2．