Question

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+

1

x

，（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b．
（Ⅰ）若f（x）在定義域上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），則等價為f_max（x）＜g_max（x），利用導數(shù)與最值之間的關(guān)系，即可求實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）對?n∈N，且n≥2，證明：ln（n!）⁴＜（n-1）（n+2）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f（x）在定義域上有極值，建立導數(shù)之間的關(guān)系，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=

2

時，若對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）根據(jù)導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），要f（x）在定義域內(nèi)有極值，
則f′(x)=

-x2+2ax-1

x2

=0?-x2+2ax-1=0有兩不等正根，
∴

a＞0 -a2+2a2-1＞0

⇒a＞1．
（Ⅱ）f(x)=2

2

lnx-x+

1

x

，要對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂）
則只需f_max（x）＜g_max（x），
由f′(x)=

-x2+2 2 x-1

x2

＞0⇒

2

-1＜x＜

2

+1，
得函數(shù)f（x）在(1，

2

+1)上遞增，在(

2

+1，e)上遞減，
∴函數(shù)f（x）在x=25處有最大值；
則fmax(x)=f(

2

+1)=2

2

ln(

2

+1)-2；
又g（x）在（1，e）上遞減，
故gmax(x)=g(1)=2

2

b-2
故有2

2

b-2＞2

2

ln(

2

+1)-2⇒b＞ln(

2

+1)．
（Ⅲ）當a=1時，f(x)=2lnx-x+

1

x

，f′(x)=

-x2+2x-1

x2

≤0恒成立，
故f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故當x≥1時，f(x)=2lnx-x+

1

x

≤f(1)=0即2lnx≤x-

1

x

，
故對?n∈N，且n≥2，總有2lnn≤n-

1

n

＜n，
故有2(ln2+ln3+…+lnn)＜2+3+…+n?2ln(n!)＜

(n+2)(n-1)

2

?ln(n!)4＜(n-1)(n+2)成立．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，要求熟練掌握導數(shù)的應用和基本運算，綜合性較強，難度較大．