已知函數(shù)f（x）=x2+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2x在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．當a=-2e時，f′（x）=
2(x-
e
)(x+
e
)
x
，從而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，
e
） 單調(diào)遞增區(qū)間是（
e
，+∞）．
（2）由g（x）=x2+alnx-2x，得g′（x）=2x+
a
x
-2，從而g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，即a≤2x-2x2在[1，4]上恒成立． 設h（x）=2x-2x2，所以h（x）的最小值為h（4）=-24，得a的取值范圍是a≤-24．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=-2e時，f′（x）=
2(x-
e
)(x+
e
)
x
，
當f′(x)＞0時，x＞
e
當f′(x)＜0時，0＜x＜
e
，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，
e
） 單調(diào)遞增區(qū)間是（
e
，+∞）．
（2）由g（x）=x2+alnx-2x，
得g′（x）=2x+
a
x
-2，
又函數(shù)g（x）為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)，
則g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+
a
x
-2≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤2x-2x2在[1，4]上恒成立． 
設h（x）=2x-2x2，
顯然h（x）在[1，4]上為減函數(shù)，
所以h（x）的最小值為h（4）=-24，
∴a的取值范圍是a≤-24．
點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心在原點，準線方程為x=±
9
2
，長軸長為6的橢圓方程為（　　）
A、
x2
81
+
y2
77
=1
B、
x2
9
+
y2
5
=1
C、
x2
9
+
y2
4
=1
D、
x2
3
+
y2
5
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=an•log
1
2
an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若雙曲線C的離心率為2，其中一個焦點F（2，0）
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若直線l斜率為2且過點F，求直線l被雙曲線C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點（n，
Sn
n
）在直線y=x+4上．數(shù)列{bn}滿足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b4=8，前11項和為154．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）若數(shù)列dn=2n an，求數(shù)列{dn}的前n項和Tn；
（3）設cn=
3
2(an-2)(2bn+5)
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求使不等式Tn＞
k
75
對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

斜率為3的直線經(jīng)過拋物線x2=8y的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=3
i
-4
j
，
a
+
b
=4
i
-3
j
，
i
與
j
為相互垂直的單位向量．
（1）求向量
a
，
b
的夾角；
（2）對非零向量
p
，
q
，如果存在不為零的常數(shù)α，β使α
p
+β
q
=
0
，那么稱向量
p
，
q
是線性相關的，否則稱向量
p
，
q
是線性無關的．向量
a
，
b
是線性相關還是線性無關？為什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+
1
x
，（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x2-x+2
2
b．
（Ⅰ）若f（x）在定義域上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對?x1∈[1，e]，總?x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），則等價為fmax（x）＜gmax（x），利用導數(shù)與最值之間的關系，即可求實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）對?n∈N，且n≥2，證明：ln（n!）4＜（n-1）（n+2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．
x3456
t2.5344.5
（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a；
（3）利用（2）中的線性回歸方程，試估計生產(chǎn)101噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為多少噸標準煤？

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