Question

4．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，長軸長為4，過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點
（1）求橢圓G的方程；
（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設切線l的方程為：ty=x-m．|m|≥1．則$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，可得m²=t²+1．與橢圓方程聯(lián)立化為：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，△＞0，4+t²＞m²，利用根與系數(shù)的關系可得|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設切線l的方程為：ty=x-m．|m|≥1．
則$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，∴m²=t²+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，
△＞0，可得4+t²＞m²，
∴y₁+y₂=$\frac{-2tm}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{4{t}^{2}{m}^{2}}{（{t}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（{m}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=2，當且僅當|m|=$\sqrt{3}$時取等號．
此時|AB|取得最大值2．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的充要條件、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．