Question

19．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)于所有的正整數(shù)n，a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），記T_n是{b_n}的前n項(xiàng)和，試比較T_n與$\frac{1}{2}$lna_n+1的大小并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)．可得$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}•1}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，即${S}_{n}=\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用遞推關(guān)系可化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，可得a_n-a_n-1=2．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=ln$\frac{2n}{2n-1}$，可得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$ln\frac{2n•2（n-1）•…4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$，$\frac{1}{2}$lna_n+1=ln$\sqrt{2n+1}$．則T_n＞$\frac{1}{2}$lna_n+1，即證明$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}•1}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，
即${S}_{n}=\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=ln$\frac{2n}{2n-1}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=ln$\frac{2n}{2n-1}$+$ln\frac{2（n-1）}{2n-3}$+…+ln$\frac{4}{3}$+$ln\frac{2}{1}$=$ln\frac{2n•2（n-1）•…4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$，
$\frac{1}{2}$lna_n+1=$\frac{1}{2}$ln（2n+1）=ln$\sqrt{2n+1}$．
則T_n＞$\frac{1}{2}$lna_n+1，
即證明$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$，
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=$\sqrt{3}$，則左邊＞右邊，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)成立，即$\frac{2k•2（k-1）•…•2}{（2k-1）•（2k-3）•…•1}$＞$\sqrt{2k+1}$．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=$\frac{2（k+1）}{2k+1}$•$\frac{2k•2（k-1）•…•2}{（2k-1）•（2k-3）•…•1}$＞$\frac{2（k+1）}{2k+1}$•$\sqrt{2k+1}$=$\frac{2k+2}{\sqrt{2k+1}}$$\frac{\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}}{\sqrt{2k+1}}$$＞\sqrt{\frac{4{k}^{2}+8k+3}{2k+1}}$=$\sqrt{2k+3}$=右邊．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
綜上可得：?n∈N^*，不等式$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．