Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-{a}^{2}+3}{{e}^{x}+{e}^{-x}+a}$+2a的值域為[2，+∞），則a的范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 設t=e^x+e^-x，利用換元法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，進行求解即可．

解答 解：設t=e^x+e^-x，則t≥2，
則函數(shù)等價為y=g（t）=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}+2}{t+a}$+2a=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}+1+2at+2{a}^{2}}{t+a}$
=$\frac{{t}^{2}+2at+{a}^{2}+1}{t+a}$=$\frac{（t+a）^{2}+1}{t+a}$=t+a+$\frac{1}{t+a}$，
∵函數(shù)的值域為[2，+∞），
∴g（t）=t+a+$\frac{1}{t+a}$的最小值為2，
則必有t+a＞0，
此時g（t）=t+a+$\frac{1}{t+a}$≥2$\sqrt{（t+a）•\frac{1}{t+a}}$=2，
當且僅當t+a=$\frac{1}{t+a}$，即t+a=1時，取等號，
此時a=1-t，
∵t≥2，∴-t≤-2
∴a=1-t≤1-2=-1，
即a≤-1，
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]，
故答案為：（-∞，-1]

點評 本題主要考查函數(shù)值域和最值的應用，根據(jù)條件利用換元法，轉(zhuǎn)化為分式形式，利用基本不等式求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．