Question

【題目】已知點(diǎn)在上,以R為切點(diǎn)的D的切線的斜率為,過外一點(diǎn)A(不在x軸上)作的切線,點(diǎn)BC為切點(diǎn),作平行于的切線(切點(diǎn)為D),點(diǎn)MN分別是與的交點(diǎn)(如圖).

(1)用BC的縱坐標(biāo)st表示直線的斜率;

(2)設(shè)三角形面積為S,若將由過外一點(diǎn)的兩條切線及第三條切線(平行于兩切線切點(diǎn)的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”,如,再由MN作“切線三角形”,并依這樣的方法不斷作切線三角形…,試?yán)��?/span>“切線三角形”的面積和計(jì)算由拋物線及所圍成的陰影部分的面積T.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)根據(jù)題意可知設(shè)出直線方程,由切線斜率的定義即可表示出直線的斜率;

(2)求得切線的斜率,可得D的坐標(biāo),求得直線的方程,運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A關(guān)于D的對(duì)稱點(diǎn)在直線上,求得D為的中點(diǎn),根據(jù)為三角形的中位線,且E為的中點(diǎn),D為的中點(diǎn),求得三角形的面積,再由三角形的面積之比與對(duì)應(yīng)邊的比的關(guān)系,可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構(gòu)成以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,運(yùn)用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式,可得所有面積和,即可得到所求面積T.

解:(1)設(shè)切線方程為,

，將B,C的縱坐標(biāo)代入得

(2)設(shè),則,

∴,(s,t為B,C的縱坐標(biāo)),

由此可得

設(shè)利用切線方程得:

即,兩式相減得:

,,,

由前面計(jì)算可知:平行于橫軸,可得,

,將,代入,

由,

所以D為的中點(diǎn);

設(shè):,由上可知,

由M,N確定的切線三角形的面積為,

后一個(gè)切線三角形的面積是前一切線三角形面積的,

由此繼續(xù)下去可得算式:

,

,

∴.