【題目】在梯形中,的中點,線段交于點(如圖1.沿折起到的位置,使得二面角為直二面角(如圖2.

1)求證:平面;

2)線段上是否存在點,使得與平面所成角的正弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)線段上存在點,且

【解析】

1)推導出,從而四邊形為平行四邊形,推導出,由此能證明平面;

2)建立空間直角坐標系,設(shè),利用向量法能求出線段上存在點,且時,使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為.

1)證明:因為在梯形中,,的中點,

所以,

所以四邊形為平行四邊形,

因為線段交于點,

所以為線段的中點,

所以,

因為平面平面

所以平面.

2)解:平行四邊形中,,

所以四邊形是菱形,,垂足為,

所以,

因為平面平面,

所以是二面角的平面角,

因為二面角為直二面角,

所以,即.

可以如圖建立空間直角坐標系,其中,

因為在圖1菱形中,

所以,

所以,

所以,

設(shè)為平面的法向量,

因為,所以,即,

,得到

所以;

線段上存在點使得與平面所成角的正弦值為,

設(shè),

因為,

所以,

因為,

所以,

因為,所以,

所以線段上存在點,且,使得與平面所成角的正弦值為.

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