Question

9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0，求：
（1）$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值；
（4）2x²+y²-4x-6的最大值．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設(shè)$\frac{y}{x}$=k，進(jìn)而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值；
（2）設(shè)m=y-x，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上，則此直線與圓相切時(shí)，m取最值，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得m的值，即為所求．
（3）根據(jù)x²+y²表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）間的距離的平方，求出|CO|，再把|CO|加減半徑后平方，即得所求．
（4）利用圓的參數(shù)方程，即可求出2x²+y²-4x-6的最大值．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，
由$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=3．
∴k_max=$\sqrt{3}$，k_min=-$\sqrt{3}$，
則$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)y-x=m，則x-y+m=0，圓心（2，0）到x-y+m=0的距離d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，∴m=-2±$\sqrt{6}$，
∴y-x的最小值為-2-$\sqrt{6}$；
（3）∵x²+y²表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）間的距離的平方．
∵CO=2，∴x²+y²的最小值為（2-$\sqrt{3}$）²=7-4$\sqrt{3}$，最大值為（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$；
（4）設(shè)x=2+$\sqrt{3}cosα$，y=$\sqrt{3}$sinα，則2x²+y²-4x-6=2（2+$\sqrt{3}cosα$）²+（$\sqrt{3}$sinα）²-4（2+$\sqrt{3}cosα$）-6
=3cos²α+4$\sqrt{3}$cosα-3=3（cosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²-7，∴cosα=1時(shí)，2x²+y²-4x-6的最大值為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及最值的計(jì)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．