Question

16．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點，已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）對任意的實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a、b代入函數(shù)，根據(jù)條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點”建立方程解之即可；
（2）對任意實數(shù)b，f（x）恒有兩個相異不動點轉(zhuǎn)化成對任意實數(shù)b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個不等實根，再利用判別式建立a、b的不等關(guān)系，最后將b看成變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于b的恒成立問題求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時，f（x）=x²-x-3，因為x₀為f（x）的不動點，
所以${x_0}^2-{x_0}-3={x_0}$即${x_0}^2-2{x_0}-3=0$解得x₀=-1，x₀=3，
所以-1和3是f（x）=x²-x-3的不動點，
（2）因為f（x）恒有兩個相異的不動點
即方程f（x）=x恒有兩個不同的解，即f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x，
即ax²+bx+b-1=0有兩個不相等的實根，
所以b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即對于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以（-4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，
所以0＜a＜1，
即a的取值范圍為（0，1）．

點評 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及恒成立問題的處理，屬于中檔題．