Question

5．在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$的展開式中，含$\frac{1}{x^2}$的項的系數為21．

Answer 1

分析 解法一：把${（1+\frac{1}{x}）}^{4}$和（1+x）³分別利用二項式定理展開，可得含$\frac{1}{x^2}$的項的系數．
解法二：根據${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=$\frac{{（1+x）}^{7}}{{x}^{4}}$，求得（1+x）⁷ 的展開式中x²的系數，即為所求．

解答 解：解法一：∵${（1+\frac{1}{x}）}^{4}$=${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{x}$+${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{4}^{4}$•$\frac{1}{{x}^{4}}$，
∴在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=（1+3x+3x²+x³）•（ ${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{x}$+${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{4}^{4}$•$\frac{1}{{x}^{4}}$ ）的展開式中，
含$\frac{1}{x^2}$的項的系數為${C}_{4}^{2}$+3${C}_{4}^{3}$+3${C}_{4}^{4}$=21，
故答案為：21．
解法二：${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=（1+x）³•$\frac{{（1+x）}^{4}}{{x}^{4}}$=$\frac{{（1+x）}^{7}}{{x}^{4}}$，對于（1+x）⁷，它的展開式中x²的系數為${C}_{7}^{2}$=21，
故在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$的展開式中，含$\frac{1}{x^2}$的項的系數為21，
故答案為：21．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．