Question

6．點(diǎn)M為棱長(zhǎng)是$2\sqrt{2}$的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為B₁C₁的中點(diǎn)，若滿足DM⊥BN，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

Answer 1

分析 直線DM在過(guò)點(diǎn)D且與BN垂直的平面內(nèi)．又點(diǎn)M在內(nèi)接球的球面上，故點(diǎn)M的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過(guò)D且與BN垂直的平面相交得到的小圓，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)BB₁的中點(diǎn)E，CE為DM在平面B₁C₁CB中的射影，直線DM在過(guò)點(diǎn)D且與BN垂直的平面內(nèi)．
又點(diǎn)M在內(nèi)接球的球面上，
故點(diǎn)M的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過(guò)D且與BN垂直的平面相交得到的小圓，
即點(diǎn)M的軌跡為過(guò)D，C，E的平面與內(nèi)切球的交線．
由等面積$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$，
求得點(diǎn)O到此平面的距離為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，截得小圓的半徑為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
所以以點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$，
故答案為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的空間想象力，求出點(diǎn)M的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題．