Question

4．已知（1-3x）ⁿ的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 121，求展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析 先由題意求得n的值，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答 解：由題意可得${C}_{n}^{n-2}$+${C}_{n}^{n-1}$+${C}_{n}^{n}$=121，即${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{0}$=121，化簡可得n²+n-240=0，
求得n=15，或 n=-16（舍去）．
該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{15}^{r}$•（-3x）^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•（-1）}^{r}{≤C}_{15}^{r+1}{•（-1）}^{r+1}}\\{{C}_{15}^{r}{•（-1）}^{r}{≤C}_{15}^{r-1}{•（-1）}^{r-1}}\end{array}\right.$，且r=0，1，2，…，15，
∴r為奇數(shù)，且$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{15}^{r+1}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{15}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{15}^{r-1}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$，求得r=11，
故展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為T₁₂=-${C}_{15}^{11}$•3¹¹•x¹¹．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．