Question

9．（乙）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2n+1}$，記T_n=b₁b₂+2b₂b₃+2²b₃b₄+…+2^n-1b_nb_n+1，求T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N*）．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1+2n-4，變形為：a_n-2n=2[a_n-1-2（n-1）]，n=1時(shí)，a₁=2a₁+1-3-2，解得a₁=4．即可證明．
（2）由（1）可得：a_n-2n=2×2^n-1，可得a_n=2n+2ⁿ，可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，可得：2^n-1b_nb_n+1=2^n-1×$\frac{1}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 （1）證明：S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N*）．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n²-3n-2-$[2{a}_{n-1}+（n-1）^{2}-3（n-1）-2]$
化為：a_n=2a_n-1+2n-4，變形為：a_n-2n=2[a_n-1-2（n-1）]，
n=1時(shí)，a₁=2a₁+1-3-2，解得a₁=4．
∴數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
（2）解：由（1）可得：a_n-2n=2×2^n-1，可得a_n=2n+2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴2^n-1b_nb_n+1=2^n-1×$\frac{1}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$．
∴T_n=b₁b₂+2b₂b₃+2²b₃b₄+…+2^n-1b_nb_n+1
=2$[（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）]$
=2×$（\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．