【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓過右焦點的弦為、過原點的弦為,若,求證:為定值.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題分析:

()由題意結(jié)合點到直線距離公式可得.結(jié)合離心率計算公式有.則橢圓的方程為.

()對直線的斜率分類討論:當(dāng)直線的斜率不存在時,.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),,聯(lián)立直線方程與橢圓方程有,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合弦長公式有.計算可得.據(jù)此可得:為定值.

試題解析:

Ⅰ)依題意,原點到直線的距離為

則有.

,得.

∴橢圓的方程為.

Ⅱ)證明:(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,易求,

.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時,

設(shè)直線的斜率為,依題意

則直線的方程為,直線的方程為.

設(shè),,,

,

,,

.

整理得,則.

.

.

綜合(1)(2),為定值.

練習(xí)冊系列答案
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