【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，對(duì)任意的恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

根據(jù)所給的定義，運(yùn)用分類討論的方法、取特殊值法進(jìn)行逐一判斷即可.

①∵當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，；當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，，

∴當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，；

當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，，

即不管是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有，故①正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，

∴對(duì)任意，都有，故②正確；

③若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)； 若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)，

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，對(duì)恒成立，故③正確；

④取，，，可得，，，

∴，，，恰好為等邊三角形，故④正確.

故選：D.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，證明：在上有最小值；設(shè)在上的最小值為，求函數(shù)的值域．

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【題目】如圖在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中，，，.，,，分別是的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn).

（I） 求線段，的長(zhǎng)度；

（II）證明：平面；

（III）求與平面所成的角的正弦值.

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【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比q的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）求數(shù)列前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知，

（1）若函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若對(duì)于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，求

（1）過點(diǎn)A,B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；

（2）過點(diǎn)A,B且圓心在直線上的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知常數(shù)，向量， ，經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線交于點(diǎn)，其中．

（）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡．

（）若點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 為軌跡上任意一點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，將沿折起到的位置，使得平面平面，

為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

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【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓過右焦點(diǎn)的弦為、過原點(diǎn)的弦為，若，求證：為定值.

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